Аксиоматика действительных чисел и следствия. Аксиома полноты (непрерывности)

18.08.2022 Орхидеи

План:

1 Аксиома непрерывности
2 Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа
3 Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения
- 3.1 Непрерывность по Дедекинду
- 3.2 Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора)
- 3.3 Принцип супремума
- 3.4 Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)
- 3.5 Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)
4 Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел

Введение

Непрерывность действительных чисел - свойство системы действительных чисел , которым не обладает множество рациональных чисел . Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел . Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду , принцип вложенных отрезков Коши - Кантора , теорема о супремуме . В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться в качестве аксиомы - в той или иной формулировке, либо доказываться в роли теоремы .

1. Аксиома непрерывности

Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее простую и удобную для приложений формулировку свойства непрерывности действительных чисел. При аксиоматическом построении теории действительного числа данное утверждение, или эквивалентное ему, непременно входит в число аксиом действительного числа .

Геометрическая иллюстрация аксиомы непрерывности

Аксиома непрерывности (полноты). Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число ξ , что для всех и имеет место соотношение

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой, данное утверждение представляется очевидным. Если два множества A и B таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число ξ , разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов A (кроме, возможно, самого ξ ) и левее всех элементов B (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

Легко видеть, что для любых элементов и выполняется неравенство a < b . Однако рационального числа ξ , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только , но оно не является рациональным.

2. Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без нее невозможно строгое построение математического анализа. Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения a x уже для произвольного . Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа log a b для любых .

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке , доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений, свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

3. Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения

Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные . Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

3.1. Непрерывность по Дедекинду

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа» . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии. Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установить соответствие, когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу a построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли a положительное или отрицательное число, получить точку p , соответствующую числу a . Таким образом, каждому рациональному числу a соответствует одна и только одна точка p на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путем отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если p есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса: точки расположенные левее p , и точки расположенные правее p . Сама же точка p может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом, в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

Чтобы глубже понять сущность непрерывности числовой прямой в смысле Дедекинда, рассмотрим произвольное сечение множества действительных чисел, то есть разделение всех действительных чисел на два непустых класса, так что все числа одного класса лежат на числовой прямой левее всех чисел второго. Эти классы называются соответственно нижним и верхним классами сечения. Теоретически имеются 4 возможности:

В нижнем классе есть максимальный элемент, в верхнем классе нет минимального
В нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе есть минимальный
В нижнем классе есть максимальный, а в верхнем - минимальный элементы
В нижнем классе нет максимального, а в верхнем - минимального элементов

В первом и втором случаях максимальный элемент нижнего или минимальный элемент верхнего соответственно и производит данное сечение. В третьем случае мы имеем скачок , а в четвертом - пробел . Таким образом, непрерывность числовой прямой означает, что в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, то есть, образно говоря, нет пустот.

Если ввести понятие сечения множества действительных чисел, то принцип непрерывности Дедекинда можно сформулировать так.

Принцип непрерывности Дедекинда (полноты). Для каждого сечения множества действительных чисел существует число, производящее это сечение.

Замечание. Формулировка Аксиомы непрерывности о существовании точки, разделяющей два множества, весьма напоминает формулировку принципа непрерывности Дедекинда. В действительности, эти утверждения эквивалентны, и, по существу, являются разными формулировками одного и того же. Поэтому оба эти утверждения называют принципом непрерывности действительных чисел по Дедекинду .

3.2. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора)

Лемма о вложенных отрезках (Коши - Кантор). Всякая система вложенных отрезков

имеет непустое пересечение, то есть существует по крайней мере одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков данной системы стремится к нулю, то есть

то пересечение отрезков данной системы состоит из одной точки.

Это свойство называют непрерывностью множества действительных чисел в смысле Кантора . Ниже будет показано, что для архимедовых упорядоченных полей непрерывность по Кантору эквивалентна непрерывности по Дедекинду.

3.3. Принцип супремума

Принцип супремума. Всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет супремум.

В курсах математического анализа это предложение обычно является теоремой и его доказательство существенно использует непрерывность множества действительных чисел в той или иной форме. Вместе с тем можно наоборот, постулировать существование супремума у всякого непустого ограниченного сверху множества, и опираясь на это доказать, например, принцип непрерывности по Дедекинду. Таким образом, теорема о супремуме является одной из эквивалентных формулировок свойства непрерывности действительных чисел.

Замечание. Вместо супремума можно использовать двойственное понятие инфимума.

Принцип инфимума. Всякое непустое ограниченное снизу множество действительных чисел имеет инфимум.

Это предложение также эквивалентно принципу непрерывности Дедекинда. Более того можно показать, что из утверждения теоремы о супремуме непосредственно вытекает утверждение теоремы об инфимуме, и наоборот (см. ниже).

3.4. Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)

Лемма о конечном покрытии (Гейне - Борель). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, существует конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

3.5. Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

4. Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел

Сделаем некоторые предварительные замечания. В соответствии с аксиоматическим определением действительного числа, совокупность действительных чисел удовлетворяет трем группам аксиом. Первая группа - аксиомы поля. Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть линейно упорядоченное множество, причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле. Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Чтобы показать эквивалентность различных формулировок непрерывности действительных чисел, следует доказать, что если для упорядоченого поля выполнено одно из этих предложений, то из этого вытекает справедливость всех остальных.

Теорема. Пусть - произвольное линейно упорядоченное множество. Следующие утверждения эквивалентны:

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

Замечание. Как видно из теоремы, принцип вложенных отрезков сам по себе не равносилен принципу непрерывности Дедекинда. Из принципа непрерывности Дедекинда следует принцип вложенных отрезков, однако для обратного требуется дополнительно потребовать, чтобы упорядоченное поле удовлетворяло аксиоме Архимеда

Доказательство приведенных теорем можно найти в книгах из списка литературы, приведенного ниже.

Примечания

Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. - Изд. 4-е, испр.. - М .: «МЦНМО», 2002. - С. 43.
Например, при аксиоматическом определении действительного числа принцип непрерывности Дедекинда входит в число аксиом, а при конструктивном определении действительного числа с помощью дедекиндовых сечений то же самое утверждение уже является теоремой - см. например Фихтенгольц, Г. М.
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М .: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - С. 38.
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М .: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - С. 84.
Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. - Изд. 4-е, испр.. - М .: «МЦНМО», 2002. - С. 81.
Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-е исправленное издание. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с.

Литература

Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М .: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1
Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. - 7-е изд. - М .: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X
Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-е исправленное издание. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с. , Полнота по Тьюрингу , Разбиение множества , Вариация множества , Степень множества .

Определение 2. Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует число такое, что с (соответственно, ) для любого .

Число с в этом случае называют верхней (соответственно, нижней) границей множества X или также мажорантой (минорантой) множества X.

Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

Определение 4. Элемент а называется наибольшим или максимальным (наименьшим или минимальным) элементом множества , если (соответственно, ) для любого элемента .

Введем обозначения и заодно приведем формальную запись определения максимального и минимального элементов соответственно:

Наряду с обозначениями (читается «максимум (читается «минимум в том же смысле используются соответственно символы

Из аксиомы 1 порядка сразу следует, что если в числовом множестве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один.

Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется максимальный (минимальный) элемент.

Например, множество имеет минимальный элемент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента.

Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множество сверху, называется верхней гранью (или точной верхней границей) множества X и обозначается (читается «супремум или

Это основное определение настоящего пункта. Итак,

В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, написано, что ограничивает X сверху; вторая скобка говорит, что - минимальное из чисел, обладающих этим свойством. Точнее, вторая скобка утверждает, что любое число, меньшее уже не является верхней границей X.

Аналогично вводится понятие нижней грани (точной нижней границы) множества X как наибольшей из нижних границ множества X.

Определение 6.

Наряду с обозначением (читается «инфимум для нижней грани X употребляется также обозначение

Таким образом, даны следующие определения:

Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает минимальным или максимальным элементом, поэтому принятые определения верхней и нижней граней числового множества нуждаются в аргументации, которую доставляет следующая

Лемма (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху подмножество множества вещественных чисел имеет и притом единственную верхнюю грань.

Поскольку единственность минимального элемента числового множества нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существовании верхней грани.

Пусть данное подмножество, - множество верхних границ X. По условию, Тогда в силу аксиомы полноты существует число такое, что Число с, таким образом, является мажорантой X и минорантой Как мажоранта X, число с является элементом У, но как миноранта У, число с является минимальным элементом множества У. Итак,

Конечно, аналогично доказывается существование и единственность нижней грани у ограниченного снизу числового множества, т. е. имеет место

Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают числовые функции. Они (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют.

Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непонятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эволюция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном известно о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свойства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического использования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного перехода - основной неарифметической операции анализа.

§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел

1. Определение множества действительных чисел

Определение 1. Множество Е называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы - действительными (вещественными)

числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

(I) Аксиомы сложения

Определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый суммой х и у. При этом выполнены следующие условия:

Существует нейтр алъный элемент 0 (называемый в случае сложения нулем) такой, что для любого

Для любого элемента имеется элемент , называемый пр отивопо ложным к такой, что

Операция 4 ассоциативна, т. е. для любых элементов из выполнено

Операция 4 коммутативна, т. е. для любых элементов из Е выполнено

Если на каком-то множестве определена операция, удовлетворяющая аксиомам то говорят, что на задана структура группы или что есть группа. Если операцию называют сложением, то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что операция коммутативна, т. е. выполнено условие то группу называют коммутативной или абелевой. Итак, аксиомы говорят, что Е есть аддитивная абелева группа.

(II) Аксиомы умножения

Определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый произведением х и у, причем так, что выполнены следующие условия:

1. Существует нейтральный элемент в случае умножения единицей) такой, что

2. Для любого элемента имеется элемент , называемый обратным, такой, что

3. Операция ассоциативна, т. е. любых из Е

4. Операция коммутативна, т. е. для любых

Заметим, что по отношению к операции умножения множество как можно проверить, является (мультипликативной) группой.

(I, II) Связь сложения и умножения

Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е.

Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равенство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множителей.

Если на каком-то множестве действуют две операции, удовлетворяющие всем перечисленным аксиомам, то называется алгебраическим полем или просто полем.

(III) Аксиомы порядка

Между элементами Е имеется отношение т. е. для элементов из Е установлено, выполняется ли или нет. При этом должны удовлетворяться следующие условия:

Отношение называется отношением неравенства.

Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношение, удовлетворяющее аксиомам 0, 1, 2, как известно, называют частично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3, т. е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называется линейно упорядоченным.

Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядочено отношением неравенства между его элементами.

(I, III) Связь сложения и порядка в R

Если х, - элементы R, то

(II, III) Связь умножения и порядка в R

Если - элементы R, то

(IV) Аксиома полноты (непрерывности)

Если X и Y - непустые подмножества Е, обладающие тем свойством, что для любых элементов выполнено то существует такое , что для любых элементов .

Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве Е позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел.

Это определение формально не предполагает никакой предварительной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиоматического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний.

Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональным числам; что вам неизвестно великое открытие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т. е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процессе измерений понятия «больше» что вы не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего этого предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольным плодом фантазии.

Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают по крайней мере два вопроса.

Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т. е. существует лимножество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиворечивости аксиоматики.

Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математический объект, т. е., как сказали бы логики, категорична ли система аксиом.

Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, числовых систем удовлетворяющие аксиоматике, то между множествами можно установить биективное соответствие, пусть сохраняющее арифметические операции и отношение порядка, т. е.

С математической точки зрения в таком случае являются всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, - бесконечные десятичные дроби, а - точки на числовой прямой). Такие реализации называются изоморфными, а отображение - изоморфизмом. Результаты математической деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики.

Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничимся только информативными ответами на них.

Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. I, § 4, п. 2), можно построить множество натуральных, затем множество рациональных и, наконец, множество Е всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечисленным свойствам.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Аксиоматика действительных чисел

✪ Введение. Действительные числа | матан #001 | Борис Трушин +

✪ Принцип вложенных отрезков | матан #003 | Борис Трушин!

✪ Различные принципы непрерывности | матан #004 | Борис Трушин!

✪ Аксиома непрерывности. Принцип вложенных орезков Кантора

Субтитры

Аксиома непрерывности

Аксиома непрерывности (полноты). A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } и B ⊂ R {\displaystyle B\subset \mathbb {R} } и выполняется неравенство , существует такое действительное число ξ {\displaystyle \xi } , что для всех a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} имеет место соотношение

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой , данное утверждение представляется очевидным. Если два множества A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число ξ {\displaystyle \xi } , разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов A {\displaystyle A} (кроме, возможно, самого ξ {\displaystyle \xi } ) и левее всех элементов B {\displaystyle B} (та же оговорка).

A = { x ∈ Q: x > 0 , x 2 < 2 } , B = { x ∈ Q: x > 0 , x 2 > 2 } {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}>2\}}

Легко видеть, что для любых элементов a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} выполняется неравенство a < b {\displaystyle a. Однако рационального числа ξ {\displaystyle \xi } , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , но оно не является рациональным .

Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без неё невозможно строгое построение математического анализа. Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

(Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится
(Теорема Больцано - Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка
(Существование степенной , показательной , логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого a > 0 {\displaystyle a>0} и целого n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} существует a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} , то есть решение уравнения x n = a , x > 0 {\displaystyle x^{n}=a,x>0} . Это позволяет определить значение выражения для всех рациональных x {\displaystyle x} :

A m / n = (a n) m {\displaystyle a^{m/n}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения a x {\displaystyle a^{x}} уже для произвольного x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа log a ⁡ b {\displaystyle \log _{a}{b}} для любых a , b > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a,b>0,a\neq 1} .

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская, поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } , доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений , свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения

Непрерывность по Дедекинду

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа » . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии . Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установить соответствие , когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу a {\displaystyle a} построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли a {\displaystyle a} положительное или отрицательное число, получить точку p {\displaystyle p} , соответствующую числу a {\displaystyle a} . Таким образом, каждому рациональному числу a {\displaystyle a} соответствует одна и только одна точка p {\displaystyle p} на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путём отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если p {\displaystyle p} есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса : точки расположенные левее p {\displaystyle p} , и точки расположенные правее p {\displaystyle p} . Сама же точка p {\displaystyle p} может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом , в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

В нижнем классе есть максимальный элемент , в верхнем классе нет минимального
В нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе есть минимальный
В нижнем классе есть максимальный, а в верхнем - минимальный элементы
В нижнем классе нет максимального, а в верхнем - минимального элементов

Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)

Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку. . Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть , причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле . Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Теорема. Пусть - произвольное линейно упорядоченное множество . Следующие утверждения эквивалентны:

Каковы бы ни были непустые множества и B ⊂ R {\displaystyle B\subset {\mathsf {R}}} , такие что для любых двух элементов a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} выполняется неравенство a ⩽ b {\displaystyle a\leqslant b} , существует такой элемент ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in {\mathsf {R}}} , что для всех a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} имеет место соотношение a ⩽ ξ ⩽ b {\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}
Для всякого сечения в R {\displaystyle {\mathsf {R}}} существует элемент, производящий это сечение
Всякое непустое ограниченное сверху множество A ⊂ R {\displaystyle A\subset {\mathsf {R}}} имеет супремум
Всякое непустое ограниченное снизу множество A ⊂ R {\displaystyle A\subset {\mathsf {R}}} имеет инфимум

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на R {\displaystyle {\mathsf {R}}} введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство R {\displaystyle {\mathsf {R}}} как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть R {\displaystyle {\mathsf {R}}} - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

15. Если непустые множества А и В действительных чисел таковы, что для любых и выполняется неравенство a < b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Аксиома полноты справедлива только в R.

Можно доказать, что между любыми не равными рациональными числами всегда можно вставить не равное им рациональное число.

Из данных выше аксиом можно вывести единственность нуля и единицы, существование и единственность разности и частного. Отметим, дополнительно, свойства неравенств, которые широко используются в различных преобразованиях:

1. Если a < b, с < d , то a+c < b+d.

2. Если a < b, то –a > –b .

3. Если a > 0, b < 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab > 0. (Последнее верно и при a > 0, b > 0.)

4. Если 0 < a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Если a < b, c > 0, то ac < bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Если 0 < a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Для любых положительных чисел а и b найдется такое число nÎ N, что na > b (аксиома Архимеда , для отрезков длины a, b, na).

Используются следующие обозначения числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

R + –множество действительных положительных чисел;

R _ – множество действительных отрицательных чисел;

R 0 – множество действительных неотрицательных чисел;

С – множество комплексных чисел (определение и свойства этого множества рассматриваются в разделе 1.1).

Введем на множестве действительных чисел понятие ограниченности. Оно далее будет активно использоваться в рассуждениях.

Будем называть множество ОГРАНИЧЕННЫМ СВЕРХУ (СНИЗУ), если существует такое действительное число М ( m) , что любой элемент удовлетворяет неравенству :

Число Mназывается ВЕРХНЕЙГРАНью МНОЖЕСТВАA, а число m – НИЖНЕЙ ГРАНью этого множества.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество N натуральных чисел ограничено снизу, но не ограничено сверху. Множество целых чисел Z не ограничено ни снизу, ни сверху.

Если рассмотреть множество площадей произвольных треугольников, вписанных в круг диаметра D , то снизу оно ограничено нулем, а сверху – площадью любого многоугольника, включающего в себя круг (в частности, площадью описанного квадрата, равной D 2 ).

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. Тогда, есть ли наименьшая из всех верхних границ и наибольшая из всех нижних границ?

Будем называть число точной верхней гранью ограниченного сверху множества А Ì R , если:

1. является одной из верхних граней множества А ;

2. является наименьшей из верхних граней множества А . Другими словами, действительное число является точной верхней гранью множества А Ì R , если:

Принято обозначение

Аналогично вводятся: – точная нижняя грань ограниченного снизу множества А и соответствующие обозначения

По-латыни: supremum – наивысшее, infimum – наинизшее.

Точные грани множества могут ему как принадлежать, так и не принадлежать.

ТЕОРЕМА. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество действительных чисел очную верхнюю (нижнюю) грань.

Эту теорему мы примем без доказательства. Например, если , то верхней границей можно считать число 100, нижней –10, а . Если же , то . Во втором примере точные границы данному множеству не принадлежат.

На множестве действительных чисел можно выделить два непересекающихся подмножества алгебраических и трансцендентных чисел.

АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИ называются числа, которые являются корнями многочлена

коэффициенты которого – целые числа.

В высшей алгебре доказывается, что множество комплексных корней многочлена конечно и равно n. (Комплексные числа являются обобщением действительных). Множество алгебраических чисел счётно. Оно включает в себя все рациональные числа, так как числа вида

удовлетворяют уравнению

Доказано также, что существуют алгебраические числа, не являющиеся радикалами из рациональных чисел. Этот очень важный результат остановил бесплодные попытки найти решения уравнений степени выше четвертой в радикалах. Многовековые поиски алгебраистов, изучавших эту проблему, сумел обобщить французский математик Э. Галуа, нелепо погибший в возрасте 21 года. Его научные труды составляют всего 60 страниц, но они явились блистательным вкладом в развитие математики.

Юноша, страстно и неудержимо любивший эту науку, дважды пытался поступить в самое престижное учебное заведение Франции того времени – Политехническую школу – безуспешно. Начал учиться в привилегированной Высшей школе – отчислили из-за конфликта с директором. Став политическим заключенным после выступления против Луи-Филиппа, передал из тюрьмы в Парижскую академию наук рукопись с исследованием решения уравнения в радикалах. Академия отвергла эту работу. Нелепая смерть на дуэли оборвала жизнь этого незаурядного человека.

Множество, являющееся разностью множеств действительных и алгебраических чисел, называют множеством ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЕЛ. Очевидно, каждое трансцендентное число не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Вместе с тем, доказательство трансцендентности каких-либо отдельных чисел вызывало огромные трудности.

Лишь в 1882 году профессор Кенигсбергского университета Ф. Линдеман сумел доказать трансцендентность числа , откуда стала ясна невозможность решения задачи о квадратуре круга (построить с помощью циркуля и линейки квадрат, имеющий площадь данного круга). Мы видим, что идеи алгебры, анализа, геометрии взаимно проникают друг в друга.

Аксиоматическое введение действительных чисел далеко не единственное. Эти числа могут быть введены путем объединения множества рациональных и иррациональных чисел, или же, как бесконечные десятичные дроби, или с помощью сечений на множестве рациональных чисел.

*1) Этот материал взят из 7-ой главы книги:

Л.И. Лурье ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ / Учебное пособие / М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К о », - 2003, - 517 С.