Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :

• Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
• Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

Линейные неравенства в пространстве

Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства . Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:

Типичным вектором плоскости (либо нормалью плоскости ) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости . Одним из методов задать плоскость является указание координат ее нормали и точки, лежащей на плоскости . Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, то типичным к ней является вектор с координатами (A;B;C). В иных случаях для вычисления типичного вектора придется потрудиться.

Инструкция

1. Пускай плоскость задана тремя принадлежащими ей точками K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Дабы обнаружить типичный вектор, составим уравнение этой плоскости . Обозначьте произвольную точку, лежащую на плоскости , буквой L, пускай у нее будут координаты (x;y;z). Сейчас разглядите три вектора PK, PM и PL, они лежат на одной плоскости (компланарны), следственно их смешанное произведение равно нулю.

2. Обнаружьте координаты векторов PK, PM и PL:PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y-yp;z-zp)Смешанное произведение этих векторов будет равно определителю, представленному на рисунке. Данный определитель следует вычислить, дабы обнаружить уравнение для плоскости . Вычисление смешанного произведения для определенного случая глядите в примере.

3. ПримерПусть плоскость задана тремя точками K(2;1;-2), M(0;0;-1) и P(1;8;1). Требуется обнаружить типичный вектор плоскости .Возьмите произвольную точку L с координатами (x;y;z). Вычислите векторы PK, PM и PL:PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1)Составьте определитель для смешанного произведения векторов (он на рисунке).

4. Сейчас разложите определитель по первой строке, а после этого подсчитайте значения определителей размера 2 на 2.Таким образом уравнение плоскости -10x + 5y – 15z – 15 = 0 либо, что то же, -2x + y – 3z – 3 = 0. Отсель легко определить вектор нормали к плоскости : n = (-2;1;-3).

Перед тем как ответить на поставленный вопрос, требуется определить, нормаль чего именно нужно искать. В данном случае, ориентировочно, в задаче рассматривается некая поверхность.

Инструкция

1. Приступая к решению поставленной задачи, следует помнить, что нормаль к поверхности определяется как нормаль к касательной плоскости. Исходя именно из этого и будет выбираться методология решения.

2. График функции 2-х переменных z=f(x, y)=z(x, y) – это поверхность в пространстве. Таким образом ее почаще каждого и задают. В первую очередь нужно обнаружить касательную плоскость к поверхности в некоторой точке М0(x0, y0, z0), где z0=z(x0, y0).

3. Для этого следует припомнить, что геометрический толк производной функции одного довода, это угловой показатель касательной к графику функции в точке, где y0=f(x0). Частные производные функции 2-х доводов находят, фиксируя «ненужный» довод верно так же, как и производные обыкновенных функций. Значит геометрический толк частной производной по x функции z=z(x, y) в точке (x0,y0) состоит в равенстве ее углового показателя касательной, к косой, образуемой пересечением поверхности и плоскости y=y0 (см. рис. 1).

4. Данные, отраженные на рис. 1, дозволяют заключить, что уравнение касательной к поверхности z=z(x, y), содержащей точку М0(xo, y0, z0) в сечении при y=y0: m(x-x0)=(z-z0), y=y0. В каноническом виде дозволено записать:(x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Значит направляющий вектор этой касательной s1(1/m, 0, 1).

5. Сейчас, если угловой показатель касательно для частной производной по y обозначить n, то идеально видимо, что подобно предыдущему выражению, это приведет к (y-y0)/(1/n)=(z-z0), x=x0 и s2(0, 1/n, 1).

6. Дальше движение решения в виде поиска уравнения касательной плоскости дозволено перестать и перейти непринужденно к желанной нормали n. Ее дозволено получить как вектор ное произведение n=. Вычислив его, будет определено, что в заданной точке поверхности (x0, y0, z0). n={-1/n, -1/m, 1/mn}.

7. Потому что всякий пропорциональный вектор также останется вектор ом нормали, комфортнее каждого результат представить в виде n={-n, -m, 1} и окончательно n(дz/дx, дz/дx, -1).

Видео по теме

Обратите внимание!
У незамкнутой поверхности имеется две стороны. В данном случае результат дан для «верхней» стороны, там где нормаль образует острый угол с осью 0Z.

Для векторов есть два представления произведения. Одно из них скалярное произведение , другое – векторное. Всякое из этих представлений имеет свой математический и физический толк и вычисляется абсолютно по-различному.

Инструкция

1. Разглядим два вектора в трехмерном пространстве. Вектор a с координатами (xa; ya; za) и вектор b с координатами (xb; yb; zb). Скалярное произведение векторов а и b обозначается (a,b). Оно вычисляется по формуле: (a,b) = |a|*|b|*cosα, где α – угол между двумя векторами.Дозволено вычислить скалярное произведение в координатах: (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb. Также существует представление скалярного квадрата вектора, это скалярное произведение вектора на самого себя: (a,a) = |a|² либо в координатах (a,a) = xa² + ya² + za².Скалярное произведение векторов – это число, характеризующее местоположение векторов касательно друг друга. Зачастую его применяют для вычисления угла между векторами.

2. Векторное произведение векторов обозначается . В итоге векторного произведения получается вектор, тот, что перпендикулярен обоим векторам-сомножителям, а длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Причем три вектора a, b и образуют так называемую правую тройку векторов .Длина вектора = |a|*|b|*sinα, где α – угол между векторами a и b.

Видео по теме

В линейной алгебре и в геометрии представление вектор определяется по различному. В алгебре вектор ом именуется элемент вектор ного пространства. В геометрии же вектор ом называют упорядоченную пару точек евклидового пространства – направленный отрезок. Над вектор ами определены линейные операции – сложение вектор ов и умножение вектор а на некоторое число.

Инструкция

1. Правило треугольника.Суммой 2-х вектор ов a и o именуется вектор , предисловие которого совпадает с началом вектор а a, а конец лежит на конце вектор а o, при этом предисловие вектор а o совпадает с концом вектор а a. Построение этой суммы представлено на рисунке.

2. Правило параллелограмма.Пускай вектор ы a и o имеют всеобщее предисловие. Достроим эти вектор ы до параллелограмма. Тогда сумма вектор ов a и o совпадает с диагональю параллелограмма, исходящей из начала вектор ов a и o.

3. Сумму большего числа вектор ов дозволено обнаружить, ступенчато применяя к ним правило треугольника. На рисунке представлена сумма четырёх вектор ов.

4. Произведением вектор а a на число? именуется число?a такое, что |?a| = |?| * |a|. Полученный при умножении на число вектор параллелен начальному вектор у либо лежит с ним на одной прямой. Если?>0, то вектор ы a и?a являются однонаправленными, если?<0, то вектор ы a и?a направлены в различные стороны.

Видео по теме

Вектор, как направленный отрезок, зависит не только от безусловной величины (модуля), которая равна его длине. Еще одна главная колляция – направление вектора. Оно может определяться как координатами, так и углом между вектором и осью координат. Вычисление вектора также производится при нахождении суммы и разности векторов.

Вам понадобится

• – определение вектора;
• – свойства векторов;
• – калькулятор;
• – таблица Брадиса либо ПК.

Инструкция

1. Вычислить вектор, дозволено зная его координаты. Для этого определите координаты начала и конца вектора. Пускай они будут равны (x1;y1) и (x2;y2). Дабы произвести вычисление вектора, обнаружьте его координаты. Для этого от координат конца вектора отнимите координаты его начала. Они будут равны (x2- x1;y2-y1). Примите x= x2- x1; y= y2-y1, тогда координаты вектора будут равны (x;y).

2. Определите длину вектора. Это дозволено сделать легко, измерив ее линейкой. Но если вестимы координаты вектора, рассчитайте длину. Для этого обнаружьте сумму квадратов координат вектора и извлеките из получившегося числа корень квадратный. Тогда длина вектора будет равна d=?(x?+y?).

3. Позже этого обнаружьте направление вектора. Для этого определите угол? между ним и осью ОХ. Тангенс этого угла равен отношению координаты y вектора к координате x (tg ?= y/x). Дабы обнаружить угол, воспользуйтесь в калькуляторе функцией арктангенса, таблицей Брадиса либо ПК. Зная длину вектора и его направление касательно оси, дозволено обнаружить расположение в пространстве всякого вектора.

4. Пример: координаты начала вектора равны (-3;5), а координаты конца (1;7). Обнаружьте координаты вектора (1-(-3);7-5)=(4;2). Тогда его длина составит d=?(4?+2?)=?20?4,47 линейных единиц. Тангенс угла между вектором и осью ОХ составит tg ?=2/4=0,5. Арктангенс этого угла округленно равен 26,6?.

5. Обнаружьте вектор, тот, что представляет собой сумму 2-х векторов, координаты которых вестимы. Для этого сложите соответствующие координаты векторов, которые складываются. Если координаты векторов, которые складываются, равны соответственно(x1;y1) и (x2;y2), то их сумма будет равна вектору с координатами ((x1+x2;y1+y2)). Если необходимо обнаружить разность 2-х векторов, то находите сумму, заранее умножив координаты вектора, тот, что вычитается на -1.

6. Если вестимы длины векторов d1 и d2, и угол между ними?, обнаружьте их сумму, применяя теорему косинусов. Для этого обнаружьте сумму квадратов длин векторов, а из получившегося числа вычтите удвоенное произведение этих длин, умноженное на косинус угла между ними. Из получившегося числа извлеките корень квадратный. Это и будет длина вектора, являющегося суммой 2-х данных векторов (d=?(d1?+d2?-d1?d2?Cos(?)).

Задача поиска вектора нормали прямой на плоскости и плоскости в пространстве слишком примитивна. Реально она завершается записью всеобщих уравнений прямой либо плоскости. От того что кривая на плоскости каждого лишь частный случай поверхности в пространстве, то именно о нормалях к поверхности и пойдет речь.

Инструкция

1. 1-й метод Данный метод самый примитивный, но для его понимания требуется умение представления скалярного поля. Однако, и неискушенный в этом вопросе читатель сумеет применять результирующие формулы данного вопроса.

2. Знаменито, что скалярное поле f задается как f=f(x, y, z), а любая поверхность при этом – это поверхность яруса f(x, y, z)=C (C=const). Помимо того, нормаль поверхности яруса совпадает с градиентом скалярного поля в заданной точке.

3. Градиентом скалярно поля (функции 3 переменных) именуется вектор g=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}. Потому что длина нормали значения не имеет, остается лишь записать результат. Нормаль к поверхностиf(x, y, z)-C=0 в точкеM0(x0, y0, z0) n=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}.

4. 2-й метод Пускай поверхность задана уравнением F(x, y, z)=0. Дабы дозволено было в будущем провести аналогии с первым методом, следует рассматривать, что производная непрерывной равна нулю, и F задается как f(x, y, z)-C=0 (C=const). Если провести сечение этой поверхности произвольной плоскостью, то возникшую пространственную кривую дозволено считать годографом какой-нибудь вектор-функции r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Тогда производная вектора r’(t)= ix’(t)+jy’(t)+kz’(t) направлена по касательной в некоторой точке M0(x0, y0, z0) поверхности (см. рис.1).

5. Чтобы не появилось путаницы, нынешние координаты касательной прямой следует обозначить, скажем, курсивом (x, y, z). Канонические уравнение касательной прямой, с учетом, что r’(t0) – направляющий вектор, записывается как (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0)/dt)= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Подставив координаты вектор-функции в уравнение поверхности f(x, y, z)-C=0 и продифференцировав по t вы получите (дf/дx)(дx/дt)+(дf/дy) (дy/дt)+(дf/дz)(дz/дt)=0. Равенство представляет собой скалярное произведение некоторого вектора n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Потому что оно равно нулю, то n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и есть желанный вектор нормали . Видимо, что итоги обоих методов одинаковы.

7. Пример (имеет теоретическое значение). Обнаружить вектор нормали к поверхности заданной типичным уравнением функции 2-х переменных z=z(x, y). Решение. Перепишите это уравнение в форме z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Следуя любому из предложных методов, получается, что n(-дz/дx, -дz/дy, 1) – желанный вектор нормали .

Всякий вектор дозволено разложить на сумму нескольких вектор ов, причем таких вариантов безграничное уйма. Задание разложить вектор может быть дано как в геометрическом виде, так и виде формул, от этого и будет зависеть решение задачи.

Вам понадобится

• – начальный вектор;
• – вектора, по которым требуется его разложить.

Инструкция

1. Если нужно разложить вектор на чертеже, выберите направление для слагаемых. Для комфорта расчетов почаще каждого применяется разложение на вектор а, параллельные осям координат, но вы можете предпочесть безусловно всякое комфортное направление.

2. Начертите один из слагаемых вектор ов; при этом он должен исходить из той же точки, что и начальный (длину вы выбираете сами). Объедините концы начального и полученного вектор а еще одним вектор ом. Обратите внимание: два полученных вектор а в итоге обязаны вас привести в ту же точку, что и начальный (если двигаться по стрелкам).

3. Перенесите полученные вектор а в то место, где ими комфортно будет воспользоваться, сберегая при этом направление и длину. Само­стоятельно от того, где вектор а будут находиться, в сумме они будут равны начальному. Обратите внимание, что если поместить полученные вектор а так, дабы они исходили из той же точки, что и начальный, и пунктиром объединить их концы, получится параллелограмм, причем начальный вектор совпадет с одной из диагоналей.

4. Если вам надобно разложить вектор {х1,х2,х3} по фундаменту, то есть по заданным вектор ам {р1, р2, р3}, {q1,q2,q3}, {r1,r2,r3}, поступите дальнейшим образом. Подставьте значения координат в формулу х=?р+?q+?r.

5. В итоге у вас получится система из 3 уравнений р1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=х2, p3?+q3?+r3?=х3. Решите эту систему при помощи метода сложений либо матриц, обнаружьте показатели?, ?, ?. Если задача дана в плоскости, решение будет больше простым, потому что взамен 3 переменных и уравнений вы получите лишь два (они будут иметь вид р1?+q1?=x1, p2?+q2?=х2). Запишите результат в виде х=?p+?q+?r.

6. Если в итоге вы получите безмерное уйма решений, сделайте итог о том, что вектор ы p, q, r лежат в одной плоскости с вектор ом х и разложить его заданным образом однозначно невозможно.

7. Если же решений система не имеет, отважно пишите результат задачи: вектор ы p, q, r лежат в одной плоскости, а вектор х – в иной, следственно его невозможно разложить заданным образом.

Допустимо, что и существует особое представление плоскости пирамиды , но автору оно незнакомо. От того что пирамида относится к пространственным многогранникам, плоскости образовать могут лишь грани пирамиды . Именно они и будут рассмотрены.

Инструкция

1. Самое примитивное задание пирамиды – это представление ее координатами точек вершин. Дозволено применять и другие представления, которые без труда переводятся как друг в друга, так и в предложенное. Для простоты разглядите треугольную пирамиду. Тогда в пространственном случае представление «основание» становится крайне условным. Следственно отличать его от боковых граней не следует. При произвольной пирамиде ее боковые грани все равно треугольники, а для составления уравнения плоскости основания все равно хватит 3 точек.

2. Всякая грань треугольной пирамиды всецело определяется тремя точками вершин соответствующего треугольника. Пускай это М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Для нахождения уравнения плоскости , содержащей эту грань, используйте всеобщее уравнение плоскости в виде A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Тут (x0,y0,z0) – произвольная точка плоскости , в качестве которой используйте одну из 3 заданных на данный момент, скажем М1(x1,y1,z1). Показатели A, B, C образуют координаты вектора нормали к плоскости n={A, B, C}. Дабы обнаружить нормаль, дозволено применять координаты вектора, равного векторному произведению [М1,М2] (см. рис. 1). Их и возьмите равными A, B C соответственно. Осталось обнаружить скалярное произведение векторов (n, M1M) в координатной форме и приравнять его нулю. Тут М(x,y,z) – произвольная (нынешняя) точка плоскости .

3. Полученный алгорифм построения уравнения плоскости по трем ее точкам дозволено сделать больше комфортным для использования. Обратите внимание, что обнаруженная методология полагает вычисление векторного произведения, а после этого скалярного. Это не что иное, как смешанное произведение векторов. В суперкомпактной форме оно равно определителю, строки которого состоят из координат векторов М1М={x-x1, y-y1, z-z1}, M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1М3={x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Приравняйте его нулю и получите уравнение плоскости в виде определителя (см. рис. 2). Позже его раскрытия придете к всеобщему уравнению плоскости .

Видео по теме

Способы задания плоскости.

Взаимное расположение плоскостей.

Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.

Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями. Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными.

Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек.

Также интересны случаи, когда несколько плоскостей пересекаются по одной прямой и несколько плоскостей пересекаются в одной точке.

Перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.

Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:

· через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна;

· через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых. Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.

Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

Признак параллельности двух плоскостей дает нам еще один способ задания плоскости. Вспомним формулировку этого признака: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, мы можем задать конкретную плоскость, если укажем точку, через которую она проходит и плоскость, которой она параллельна.

В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.

Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать общее уравнение плоскости.

Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.

Сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.

2.1. Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации.

Определение. Нормальный вектор плоскости - это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.

Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если - нормальный вектор плоскости , то вектор при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости .

Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.

Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.

Пример нормального вектора плоскости. Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Координатные векторы являются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы ненулевые и лежат на координатных прямых Ox, Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно.

2.2. Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости.

Найдем координаты нормального вектора плоскости, если известно уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz.

Общее уравнение плоскости вида определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор . Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.

Пример. Найдите координаты какого-либо нормального вектора плоскости .

Решение. Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x, y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно, - один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как , где t - произвольное действительное число, отличное от нуля.

Пример. Плоскость задана уравнением . Определите координаты ее направляющих векторов.

Решение. Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение в виде . Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты , а множество всех нормальных векторов запишется как .

Уравнение плоскости в отрезках вида , как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости – он имеет координаты .

В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Определение 1

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = (A , B , C) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Пример 1

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 .

Решение

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = (2 , - 3 , 7) - это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , - 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = (2 , - 3 , 7) .

Пример 2

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z - 7 = 0 .

Решение

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z - 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z - 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны (1 , 0 , 2) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи (t , 0 , 2 · t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: (t , 0 , 2 · t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter