LV 1 . (Аксиома параллельности Лобачевского). В любой плоскости существует прямая а 0 и точка А 0 , не принадлежащая этой прямой, такие, что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а 0 .
Множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих аксиомам принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности и аксиоме параллельности Лобачевского будем называть трехмерным пространством Лобачевского и обозначать через Л 3 . Большинство геометрических свойств фигур будут рассматриваться нами на плоскости пространства Л 3 , т.е. на плоскости Лобачевского. Обратим внимание на то, что формальное логическое отрицание аксиомы V 1 , аксиомы параллельности евклидовой геометрии, имеет именно ту формулировку, которую мы привели в качестве аксиомы LV 1 . На плоскости существует, по крайней мере, одна точка и одна прямая, для которых не выполнено утверждение аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Докажем теорему, из которой следует, что утверждение аксиомы параллельности Лобачевского справедливо для любой точки и любой прямой плоскости Лобачевского.
Теорема 13.1. Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует по крайней мере две прямые, проходящие через А и не пересекающие прямую а.
Доказательство. Доказательство проведем методом «от противного», при этом воспользуемся теоремой 11.1 (см. § 11). Пусть в пространстве Лобачевского существует такая точка А и прямая а, что в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, через точку А проходит единственная прямая, не пересекающая а. Опустим и точки А перпендикуляр АВ на прямую а и в точке А восставим перпендикуляр h к прямой АВ (рис. 50). Как следует из теоремы 4.2 (см § 4) прямые h и а не пересекаются. Прямая h, в силу предположения, - единственная прямая, проходящая через А и не пересекающая а. Выберем на прямой а произвольную точку С. Отложим от луча АС в полуплоскости с границей АВ, не содержащей точку В, угол САМ, равный АСВ. Тогда, как следует из той же теоремы 4.2, прямая АМ не пересекает а. Из нашего предположения следует, что она совпадает с h. Поэтому точка М принадлежит прямой h. Треугольник АВС – прямоугольный, . Вычислим сумму углов треугольника АВС: . Из теоремы 11.1 следует, что выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому в рассматриваемой плоскости не может существовать таких точки А 0 и прямой а 0 , что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а 0 . Мы пришли к противоречию с условием аксиомы параллельности Лобачевского. Теорема доказана.
Следует заметить, что в дальнейшем мы будем пользоваться утверждением именно теоремы 13.1, по сути, заменяя им утверждение аксиомы параллельности Лобачевского. Кстати, во многих учебниках именно это утверждение принято в качестве аксиомы параллельности геометрии Лобачевского.
Из теоремы 13.1 легко получить следующее следствие.
Следствие 13.2. В плоскости Лобачевского через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную.
Действительно, пусть а данная прямая, а А – точка, ей не принадлежащая, h 1 и h 2 – прямые, проходящие через А и не пересекающие а (рис. 51). Очевидно, что все прямые, которые проходят через точку А и лежат в одном из углов, образованных h 1 и h 2 (см. рис. 51), не пересекают прямую а.
В главе 2 мы доказали ряд утверждений, эквивалентных аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Их логические отрицания характеризуют свойства фигур на плоскости Лобачевского.
Во первых, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание пятого постулата Евклида. В параграфе 9 нами был сформулирован сам постулат и доказана теорема о его эквивалентности аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 9.1). Его же логическое отрицание имеет вид:
Утверждение 13.3. На плоскости Лобачевского существуют две непересекающиеся прямые, которые при пересечении с третьей прямой образуют внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов.
В § 12 нами было сформулировано предложение Посидония: на плоскости существуют по крайней мере три коллинеарные точки, расположенные в одной полуплоскости от данной прямой и равноудаленные от нее. Также мы доказали теорему 12.6: предложение Посидония эквивалентно утверждению аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Таким образом, на плоскости Лобачевского действует отрицание этого утверждения.
Утверждение 13.4. Множество точек, равноудаленных от прямой на плоскости Лобачевского и расположенных в одной полуплоскости относительно ее, в свою очередь не лежат на одной прямой.
На плоскости Лобачевского множество точек, равноудаленных от прямой и принадлежащей одной полуплоскости относительно этой прямой, образуют кривую линию, так называемую эквидистанту. Ее свойства будут рассмотрены нами позже.
Рассмотрим теперь предложение Лежандра: пДоказанная нами теорема 11.6 (см. § 11) утверждает, что Отсюда следует, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого предложения.
Утверждение 13.5. На стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла.
Отметим свойства треугольников и четырехугольников плоскости Лобачевского, которые непосредственно следуют из результатов параграфов 9 и 11. Прежде всего, теорема 11.1. утверждает, что предположение о существовании треугольника, сумма углов которого совпадает с суммой двух прямых углов, равносильно аксиоме параллельности евклидовой плоскости. Отсюда и из первой теоремы Лежандра (см. теорему 10.1, § 10) следует следующее утверждение
Утверждение 13.6. На плоскости Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 2d.
Отсюда непосредственно вытекает, что сумма углов любого выпуклого четырехугольника меньше 4d, а сумма углов любого выпуклого n – угольника меньше 2(n-1)d.
Так как на евклидовой плоскости углы, прилежащие к верхнему основанию четырехугольника Саккери равны прямым углам, что в соответствии с теоремой 12.3 (см. § 12) равносильно аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то можно сделать следующий вывод.
Утверждение 13.7. Углы, прилегающие к верхнему основанию четырехугольника Саккери – острые.
Нам осталось рассмотреть еще два свойства треугольников на плоскости Лобачевского. Первое из них связано с предложением Валлиса: на плоскости существует хотя бы одна пара треугольников с соответственно равными углами, но не равными сторонами. В параграфе 11 мы доказали, что это предложение эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 11.5). Логическое отрицание этого утверждения приводит нас к следующему выводу: на плоскости Лобачевского не существует треугольников с равными углами, но не равными сторонами. Таким образом, справедливо следующее предложение.
Утверждение 13.8. (четвертый признак равенства треугольников на плоскости Лобачевского). Любые два треугольника на плоскости Лобачевского, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.
Рассмотрим теперь следующий вопрос. Вокруг любого ли треугольника на плоскости Лобачевского можно описать окружность? Ответ на него дает теорема 9.4 (см. § 9). В соответствии с этой теоремой, если вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность, то на плоскости выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому логическое отрицание утверждения этой теоремы приводит нас к следующему предложению.
Утверждение 13.9. На плоскости Лобачевского существует треугольник, вокруг которого нельзя описать окружность.
Легко построить пример такого треугольника. Выберем некоторую прямую а и точку А, которая ей не принадлежит. Опустим из точки А перпендикуляр h на прямую а. В силу аксиомы параллельности Лобачевского существует прямая b, проходящая через А и не перпендикулярная h, которая не пересекает а (рис. 52). Как известно, если вокруг треугольника описана окружность, то ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Поэтому нам достаточно привести пример такого треугольника, серединные перпендикуляры которого не пересекаются. Выберем точку М на прямой h, так как показано на рисунке 52. Симметрично отобразим ее относительно прямых а и b, получим точки N и P. Так как прямая b не перпендикулярна h, то точка Р не принадлежит h. Поэтому точки M, N и P составляют вершины треугольника. Прямые а и b служат по построению его серединными перпендикулярами. Они же, как было сказано выше, не пересекаются. Треугольник MNP – искомый.
Легко построить пример треугольника плоскости Лобачевского, вокруг которого можно описать окружность. Для этого достаточно взять две пересекающиеся прямые, выбрать точку, которая им не принадлежит, и отразить ее относительно этих прямых. Проведите подробное построение самостоятельно.
Определение 14.1. Пусть даны две направленные прямые и . Они называются параллельными, если выполнены условия:
1.
прямые а и b не пересекаются;
2. для произвольных точек А и В прямых а и b любой внутренний луч h угла АВB 2 пересекает прямую а (рис. 52).
Обозначать параллельные прямые будем так же, как принято в школьном курсе геометрии: a || b. Заметим, что этому определению удовлетворяют параллельные прямые на евклидовой плоскости.
Теорема 14.3. Пусть на плоскости Лобачевского дана направленная прямая и точка В, которая ей не принадлежит. Тогда через данную точку проходит единственная направленная прямая такая, что прямая а параллельна прямой b.
Доказательство.
Опустим из точки В перпендикуляр ВА на прямую а и из точки В восставим перпендикуляр р к прямой ВА (рис. 56 а). Прямая р, как уже неоднократно отмечалось, не пересекает данную прямую а. Выберем на ней произвольную точку С, разобьем точки отрезка АС на два класса и . Первому классу будут принадлежать такие точки S этого отрезка, для которых луч BS пересекает луч АА 2 , а второму классу принадлежат такие точки T, для которых луч ВТ не пересекает луч АА 2 . Покажем, что такое разбиение на классы производит дедекиндово сечение отрезка АС. В соответствии с теоремой 4.3 (см. § 4) нам следует проверить, что:
2. 
и классы и содержат точки, отличные от А и С;
3. любая точка класса , отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса .
Первое условие очевидно, все точки отрезка принадлежат одному или другому классу, при этом сами классы, исходя из их определения, не имеют общих точек.
Второе условие также легко проверить. Очевидно, что и . Класс содержит точки, отличные от А, для проверки этого утверждения достаточно выбрать какую либо точку луча АА 2 и соединить ее с точкой В. Этот луч пересечет отрезок ВС в точке первого класса. Класс также содержит точки, отличные от С, иначе мы придем к противоречию с аксиомой параллельности Лобачевского.
Докажем третье условие. Пусть существует такая точка S первого класса, отличная от А, и такая точка Т второго класса, что точка Т лежит между А и S (см. рис 56 а). Так как , то луч BS пересекает луч АА 2 в некоторой точке R. Рассмотрим луч ВТ. Он пересекает сторону AS треугольника ASR в точке Т. В соответствии с аксиомой Паша этот луч должен пересечь либо сторону AR, либо сторону SR этого треугольника. Предположим, что луч ВТ пересекает сторону SR в некоторой точке О. Тогда через точки В и О проходит две различные прямые ВТ и BR, что противоречит аксиоме аксиоматики Гильберта. Таким образом, луч ВТ пересекает сторону AR, откуда следует, что точка Т не принадлежит классу К 2 . Полученное противоречие приводит к утверждению, точка S лежит между А и Т. Условие теоремы 4.3 проверено полностью.
В соответствии с заключением теоремы 4.3 о дедекиндовом сечении на отрезке АС существует такая точка , для которой любая точка, лежащая между А и принадлежит классу , а любая точка, лежащая между и С - принадлежит классу . Покажем, что направленная прямая параллельна прямой . По сути, нам осталось доказать, что не пересекает прямую а, так как в силу выбора точек класса К 1 любой внутренний луч угла пересекает . Предположим, что прямая пересекает прямую а в некоторой точке Н (рис 56 б). Выберем произвольную точку Р на луче НА 2 и рассмотрим луч ВР. Тогда он пересекает отрезок М 0 С в некоторой точке Q (докажите это утверждение самостоятельно). Но внутренние точки отрезка М 0 С принадлежат второму классу, луч ВР не может иметь общих точек с прямой а. Таким образом, наше предположение о пересечении прямых ВМ 0 и а неверно.
Легко проверить, что прямая единственная направленная прямая, проходящая через точку В и параллельная . Действительно, пусть через точку В проходит еще одна направленная прямая , которая, как и , параллельна . При этом будем считать, что М 1 – точка отрезка АС. Тогда, исходя из определения класса К 2 , . Поэтому, луч ВМ 0 является внутренним лучом угла , следовательно, в силу определения 14.1 пересекает прямую . Мы пришли к противоречию с доказанным выше утверждением. Теорема 14.3 доказана полностью.
Рассмотрим точку В и направленную прямую , которая ее не содержит. В соответствии с доказанной теоремой 14.3 через точку В проходит направленная прямая , параллельная а. Опустим из точки В перпендикуляр BH на прямую а (рис. 57). Легко видеть, что угол HBB 2 – острый
. Действительно, если предположить, что этот угол прямой, то из определения 14.1 следует, что любая прямая, проходящая через точку В пересекает прямую а, что противоречит теореме 13.1, т.е. аксиоме LV 1 параллельности Лобачевского (см. § 13). Легко видеть, что предположение о том, что этот угол тупой, также приводит к противоречию теперь уже с определением 14.1 и теоремой 4.2 (см. §4), так как внутренний луч угла HBB 2 , перпендикулярный ВН не пересекает луч АА 2 . Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 14.4. Пусть направленная прямая параллельна направленной прямой . Если из точки В прямой опустить перпендикуляр ВН на прямую , то угол HBB 2 – острый.
Из этой теоремы с очевидностью вытекает следующее следствие.
Следствие. Если существует общий перпендикуляр направленных прямых и , то прямая не параллельна прямой .
Введем понятие параллельности для ненаправленных прямых. Будем считать, что две ненаправленные прямые параллельны, если на них можно выбрать направления так, чтобы они удовлетворяли определению 14.1. Как известно, прямая имеет два направления. Поэтому, из теоремы 14.3 следует, что через точку В, не принадлежащей прямой а проходит две ненаправленные прямые, параллельные данной прямой. Очевидно, они симметричны относительно перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую а. Эти две прямые и являются теми самыми пограничными прямыми, разделяющими пучок прямых, проходящих через точку В и пересекающих а, от пучка прямых, проходящих через В и не пересекающих прямую а (рис. 57).
Теорема 15.2. (Свойство симметричности параллельных прямых на плоскости Лобачевского). Пусть направленная прямая параллельна направленной прямой . Тогда направленная прямая параллельна прямой .
Свойство симметричности понятия параллельности прямых на плоскости Лобачевского позволяет нам не указывать порядок направленных параллельных прямых, т.е. не уточнять, какая прямая является первой, а какая второй. Очевидно, что свойство симметричности понятия параллельности прямых имеет место и на евклидовой плоскости. Оно непосредственно следует из определения параллельных прямых в евклидовой геометрии. В евклидовой геометрии выполняется также свойство транзитивности для параллельных прямых. Если прямая а параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой с. то прямые а и с также параллельны между собой. Аналогичное свойство справедливо и для направленных прямых на плоскости Лобачевского.
Теорема 15.3. (Свойство транзитивности параллельных прямых на плоскости Лобачевского).
Пусть даны три различные направленные прямые , . Если 
и 
, то 
.
Рассмотрим направленную прямую , параллельную направленной прямой . Пересечем их прямой . Точки А и В соответственно точки пересечения прямых , и , (рис. 60). Справедлива следующая теорема.
Теорема 15.4. Угол больше угла .
Теорема 15.5. Внешний угол вырожденного треугольника больше внутреннего угла, не смежного с ним.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 15.4. Проведите его самостоятельно.
Рассмотрим произвольный отрезок АВ. Через точку А проведем прямую а, перпендикулярную к АВ, а через точку В прямую b, параллельную а (рис. 63). Как следует из теоремы 14.4 (см. § 14) прямая bне перпендикулярна прямой АВ.
Определение 16.1. Острый угол, образованный прямыми АВ и b называется углом параллельности отрезка АВ.
Ясно, что каждому отрезку соответствует некоторый угол параллельности. Справедлива следующая теорема.
Теорема 16.2. Равным отрезкам соответствуют равные углы параллельности.
Доказательство.
Пусть даны два равных отрезкаАВ и А¢В¢. Проведем через точки А и А¢ направленные прямые и , перпендикулярные соответственно АВ и А¢В¢, а через точки В и В¢ направленные прямые и , параллельные соответственно и (рис. 64). Тогда и 
соответственно углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Предположим, что
Отложим от луча ВА в полуплоскости ВАА 2 угол a 2 , (см. рис. 64). В силу неравенства (1), луч l – внутренний луч угла АВВ 2 . Так как ½½ , то l пересекает луч АА 2 в некоторой точке Р. Отложим на луче А¢А 2 ¢ от точки А¢ отрезок А¢Р¢, равный АР. Рассмотрим треугольники АВР и А¢В¢Р¢. Они прямоугольные, по условию теоремы имеют равные катеты АВ и А¢В¢, по построению равны между собой вторая пара катетов АР и А¢Р¢. Таким образом, прямоугольный треугольник АВР равен треугольнику А¢В¢Р¢. Поэтому . С другой стороны, луч В¢Р¢, пересекает луч А¢А 2 ¢, а направленная прямая В 1 ¢В 2 ¢ параллельна прямой А 1 ¢А 2 ¢. Следовательно луч В¢Р¢- внутренний луч угла А¢В¢В 2 ¢, 
. Полученное противоречие опровергает наше предположение, неравенство (1) – ложно. Аналогично доказывается, что угол не может быть меньше угла . Теорема доказана.
Рассмотрим теперь, как связаны между собой углы параллельности неравных отрезков.
Теорема 16.3. Пусть отрезок АВ больше отрезка А¢В¢, а углы и соответственно их углы параллельности. Тогда .
Доказательство.
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы 15.5 (см. § 15) о внешнем угле вырожденного треугольника. Рассмотри отрезок АВ. Проведем через точку А направленную прямую , перпендикулярную АВ, а через точку В направленную прямую , параллельную (рис. 65). Отложим на луче АВ отрезок АР, равный А¢В¢. Так как , то Р – внутренняя точка отрезка АВ. Проведем через Р направленную прямую С 1 С 2 , так же параллельную . Угол служит углом параллельности отрезка А¢В¢, а угол - углом параллельности отрезка АВ. С другой стороны, из теоремы 15.2 о симметричности понятия параллельности прямых (см. § 15) следует, что прямая С 1 С 2 параллельна прямой . Поэтому треугольник РВС 2 А 2 – вырожденный, - внешний, а - его внутренний углы. Из теоремы 15.5 следует истинность доказываемого утверждения.
Легко доказать обратное утверждение.
Теорема 16.4. Пусть и углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Тогда, если , то АВ > А¢В¢.
Доказательство. Предположим противное, . Тогда из теорем 16.2 и 16.3 следует, что , что противоречит условию теоремы.
И так мы доказали, что каждому отрезку соответствует свой угол параллельности, причем большему отрезку соответствует меньший угол параллельности. Рассмотрим утверждение, в котором доказывается, что для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между отрезками и острыми углами на плоскости Лобачевского.
Теорема 16.5. Для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности.
Доказательство.
Пусть дан острый угол АВС (рис. 66). 
Будем считать, что все рассматриваемые в дальнейшем точки на лучах ВА и ВС лежат между точками В и А и В и С. Назовем луч допустимым, если его начало принадлежит стороне угла ВА, он перпендикулярен прямой ВА и расположен в той же полуплоскости относительно прямой ВА, что и сторона ВС данного угла.
Обратимся к предложению Лежандра: перпендикуляр, проведенный к стороне острого угла в любой точке этой стороны, пересекает вторую сторону угла.
Нами была доказана теорема 11.6 (см. § 11), в которой утверждается, что предложение Лежандра эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии.
Отсюда мы сделали вывод, что на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого утверждения, а именно, на стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла
(см. § 13). Таким образом, существует такой допустимый луч m с началом в точке М, который не пересекает сторону ВС данного угла (см. рис. 66).
Разобьем точки отрезка ВМ на два класса. Классу будут принадлежать те точки этого отрезка, для которых допустимые лучи с началами в этих точках пересекают сторону ВС данного угла, а классу принадлежат те точки отрезка ВС, для которых допустимые лучи с началами в этих точках сторону ВС не пересекают. Покажем, что такое разбиение отрезка ВМ образует дедекиндово сечение (см. теорему 4.3, § 4). Для этого следует проверить, что
5. 
и классы и содержат точки, отличные от В и М;
6. любая точка класса , отличная от В, лежит между точкой В и любой точкой класса .
Первое условие с очевидностью выполняется. Любая точка отрезка ВМ принадлежит либо классу К 1 , либо классу К 2 . При этом точка, в силу определения этих классов, не может принадлежать двум классам одновременно. Очевидно, можно считать, что , точка М принадлежит К 2 , так как допустимый луч с началом в точке М не пересекает ВС. Класс К 1 содержит по крайней мере одну точку, отличную от В. Для ее построения достаточно выбрать произвольную точку P на стороне ВС и опустить из нее перпендикуляр PQ на луч ВА. Если предположить, что точка Q лежит между точками М и А, то тогда точки Р и Q лежат в различных полуплоскостях относительно прямой, содержащей луч m (см. рис. 66). Поэтому отрезок РQ пересекает луч m в некоторой точке R. Мы получим, что из точки R на прямую ВА опущено два перпендикуляра, что противоречит теореме 4.2 (см. § 4). Таким образом, точка Q принадлежит отрезку ВМ, класс К 1 содержит точки, отличные от В. Легко объяснить, почему на луче ВА существует отрезок, содержащий по крайней мере одну точку, принадлежащую классу К 2 и отличную от его конца. Действительно, если класс К 2 рассматриваемого отрезка ВМ содержит единственную точку М, то тогда выберем произвольную точку М¢ между М и А. Рассмотрим допустимый луч m¢ с началом в точке М¢. Он не пересекает луч m, иначе из точки опущены два перпендикуляра на прямую АВ, поэтому m¢ не пересекает луч ВС. Отрезок ВМ¢ искомый, и все дальнейшие рассуждения следует проводить для отрезка ВМ¢.
Проверим справедливость третьего условия теоремы 4.3. Предположим, что существуют такие точки и , что точка Р лежит между точкой U и М (рис. 67). Проведем допустимые лучи u и p с началами в точках U и P. Так как , то луч р пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Q. Прямая, содержащая луч u, пересекает сторону ВР треугольника ВРQ, поэтому согласно аксиоме аксиоматике Гильберта (аксиома Паша, см. § 3) она пересекает либо сторону ВQ, либо сторону PQ этого треугольника. Но, , поэтому луч u не пересекает сторону ВQ, следовательно, лучи р и u пересекаются в некоторой точке R. Мы снова пришли к противоречию, так как построили точку, из которой опущены два перпендикуляра на прямую АВ. Условие теоремы 4.3 выполнено полностью.
М. Отсюда следует, что . Мы получили противоречие, так как построили точку класса К 1 , расположенную между точками и М. Нам осталось показать, что любой внутренний луч угла пересекает луч ВС. Рассмотрим произвольный внутренний луч h этого угла. Выберем на нем произвольную точку К, принадлежащую углу , и опустим из нее перпендикуляр на прямую ВА (рис. 69). Основание S этого перпендикуляра, очевидно, принадлежит отрезку ВМ 0 , т.е. классу К 1 (докажите этот факт самостоятельно). Отсюда следует, что перпендикуляр KS пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Т (см. рис. 69). Луч h пересек сторону ST треугольника BST в точке К, согласно аксиоме (аксиоме Паша), он должен пересечь либо сторону BS, либо сторону ВТ этого треугольника. Ясно, что h не пересекает отрезок BS, иначе через две точки, и эту точку пересечения, проходят две прямые, h и ВА. Таким образом, h пересекает сторону ВТ, т.е. луч ВА. Теорема доказана полностью.
И так, мы установили, что каждому отрезку в геометрии Лобачевского можно поставить в соответствие острый угол – его угол параллельности. Будем считать, что нами введена мера углов и отрезков, отметим, что мера отрезков будет введена нами позже, в § . Ведем следующее определение.
Определение 16.6. Если под х понимается длина отрезка, а под j - величина угла, то зависимостьj = P(х), ставящая в соответствие длине отрезка величину его угла параллельности, называется функцией Лобачевского.
Ясно, что . Используя свойства угла параллельности отрезка, доказанные выше (см. теоремы 16.3 и 16.4), можно сделать следующий вывод: функция Лобачевского является монотонно убывающей. Николаем Ивановичем Лобачевским была получена следующая замечательная формула:
,
где k – некоторое положительное число. Оно имеет важное значение в геометрии пространства Лобачевского, и носит название его радиуса кривизны. Два пространства Лобачевского, имеющие один и тот же радиус кривизны, изометричны. Из приведенной формулы, как нетрудно видеть, также следует, что j = P(х) монотонно убывающая непрерывная функция, значения которой принадлежат интервалу .
На евклидовой плоскости зафиксируем окружность w с центром в некоторой точке O и радиусом, равным единице, которую будем называть абсолютом
. Множество всех точек круга, ограниченного окружностью w, обозначим через W¢, а множество всех внутренних точек этого круга - через W. Таким образом, . Точки множества W будем называть L‑точками
Множество W всех L-точек составляет L-плоскость
, на которой мы и будем строить модель Кэли-Кляйна плоскости Лобачевского. Будем называть L‑прямыми
произвольные хорды окружности w. Будем считать, что L-точка X принадлежит L‑прямой x тогда и только тогда, когда точка X как точка евклидовой плоскости принадлежит хорде x абсолюта.
L‑плоскости имеет место аксиома параллельности Лобачевского:
через L‑точку B, не лежащую на L‑прямой a проходят по крайней мере две L‑прямые b и c, не имеющие общих точек с L‑прямой a. На рисунке 94 приведена иллюстрация этого утверждения. Легко также понять, что из себя представляют параллельные направленные прямые L-плоскости. Рассмотрим рисунок 95. L-прямая b проходит через точку пересечения L-прямой a с абсолютом. Поэтому направленная L-прямая А 1 А 2 параллельна направленной L-прямой В 1 А 2 . Действительно, эти прямые не пересекаются, и, если выбрать произвольные L-точки А и В, принадлежащие соответственно этим прямым, то любой внутренний луч h угла А 2 ВА пересекает прямую а. Таким образом, две L-прямые параллельны, если они имеют общую точку пересечения 
с абсолютом. Ясно, что выполняется свойство симметричности и транзитивности понятия параллельности L-прямых. В параграфе 15 свойство симметричности нами было доказано, свойство же транзитивности иллюстрируется на рисунке 95. Прямая А 1 А 2 параллельна прямой В 1 А 2 , они пересекают абсолют в точке А 2 . Прямые В 1 А 2 и С 1 А 2 также параллельны, они также пересекают абсолют в той же точке А 2 . Поэтому прямые А 1 А 2 и С 1 А 2 параллельны между собой.
Таким образом, определенные выше основные понятия удовлетворяют требованиям аксиом I 1 -I 3 , II, III, IV групп аксиоматики Гильберта и аксиоме параллельности Лобачевского, следовательно являются моделью плоскости Лобачевского. Нами доказана содержательная непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Сформулируем это утверждение как следующую теорему.
Теорема 1. Геометрия Лобачевского содержательно непротиворечива.
Мы построили модель плоскости Лобачевского, с построением же пространственной модели, аналогичной рассмотренной на плоскости, можно познакомиться в пособии .
Из теоремы 1 следует важнейший вывод. Аксиома параллельности не является следствием аксиом I – IV аксиоматики Гильберта. Так как пятый постулат Евклида равносилен аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то этот постулат также не зависит от остальных аксиом Гильберта.
7 февраля 1832 года Николай Лобачевский представил на суд коллег свой первый труд по неевклидовой геометрии. Этот день стал началом переворота в математике, а работа Лобачевского - первым шагом к теории относительности Эйнштейна. Сегодня "РГ" собрала пятерку самых распространенных заблуждений о теории Лобачевского, бытующих среди далеких от математической науки людей
Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой.
На самом деле геометрия Лобачевского не слишком сильно отличается от привычной нам Евклидовой. Дело в том, что из пяти постулатов Евклида четыре первых Лобачевский оставил без изменения. То есть он согласен с Евклидом в том, что между двумя любыми точками можно провести прямую, что ее всегда можно продолжить до бесконечности, что из любого центра можно провести окружность с любым радиусом, и что все прямые углы равны между собой. Не согласился Лобачевский только с пятым, наиболее сомнительным с его точки зрения постулатом Евклида. Звучит его формулировка чрезвычайно мудрено, но если переводить ее на понятный простому человеку язык, то получается, что, по мнению Евклида, две непараллельные прямые обязательно пересекутся. Лобачевский сумел доказать ложность этого посыла.
Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются
Это не так. На самом деле пятый постулат Лобачевского звучит так: "На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную". Иными словами, для одной прямой можно провести как минимум две прямые через одну точку, которые не будут ее пересекать. То есть в этом постулате Лобачевского речи о параллельных прямых вообще не идет! Говорится лишь о существовании нескольких непересекающихся прямых на одной плоскости. Таким образом, предположение о пересечении параллельных прямых родилось из-за банального незнания сути теории великого российского математика.
Миф третий. Геометрия Лобачевского - единственная неевклидова геометрия
Неевклидовы геометрии - это целый пласт теорий в математике, где основой является отличный от Евклидова пятый постулат. Лобачевский, в отличие от Евклида, к примеру, описывает гиперболическое пространство. Существует еще теория, описывающая сферическое пространство - это геометрия Римана. Вот в ней-то как раз параллельные прямые пересекаются. Классический тому пример из школьной программы - меридианы на глобусе. Если посмотреть на лекало глобуса, то окажется, что все меридианы параллельны. Меж тем, стоит нанести лекало на сферу, как мы видим, что все ранее параллельные меридианы сходятся в двух точках - у полюсов. Вместе теории Евклида, Лобачевского и Римана называют "три великих геометрии".
Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни
Напротив, современная наука приходит к пониманию, что Евклидова геометрия - лишь частный случай геометрии Лобачевского, и что в реальный мир точнее описывается именно формулами русского ученого. Сильнейшим толчком к дальнейшему развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта Эйнштейна, которая показала, что само пространство нашей Вселенной не является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Между тем, сам Лобачевский, несмотря на то, что всю жизнь работал над развитием своей теории, называл ее "воображаемой геометрией".
Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию
Это не совсем так. Параллельно с ним и независимо от него к подобным выводам пришли венгерский математик Янош Бойяи и знаменитый немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. Однако труды Яноша не были замечены широкой публикой, а Карл Гаусс и вовсе предпочел не издаваться. Поэтому именно наш ученый считается первопроходцем в этой теории. Однако существует несколько парадоксальная точка зрения, что первым неевклидову геометрию придумал сам Евклид. Дело в том, что он самокритично считал свой пятый постулат не очевидным, поэтому большую часть из своих теорем он доказал, не прибегая к нему.
Геометрия Лобачевского
(1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия ) - одна из неевклидовых геометрий , геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия , за исключением аксиомы о параллельных , которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского .
Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.
В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются . Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой , что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии , математики и науки вообще.
История
Попытки доказательства пятого постулата
Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида - аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных . Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида . Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида.
Среди многих пытавшихся доказать пятый постулат были, в частности, следующие крупные учёные.
При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили (явно или неявно) некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным.
Были предприняты попытки использовать доказательство от противного:
- итальянский математик Саккери () (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным),
- немецкий математик Ламберт (около , опубликовано в ) (проведя исследования , он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).
Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:
- немецкие математики Швейкарт () и Тауринус () (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).
Создание неевклидовой геометрии
Лобачевский в работе «О началах геометрии» (), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.
Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи , а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так отозвался о работе Лобачевского:
Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение.
В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист новой геометрии. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как возможную и полезную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации (модели).
Утверждение геометрии Лобачевского
Модель Пуанкаре
Содержание геометрии Лобачевского
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию , к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.
Приведём (в современных обозначениях) несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.
Через точку P , не лежащую на данной прямой R (см. рисунок), проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x , y , которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) R общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек).
Угол между перпендикуляром PB из P на R и каждой из параллельных (называемый углом параллельности ) по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается к а , а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a (см. рисунок), Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a) :
Здесь q - некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы.
Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.
Сумма углов всякого треугольника меньше и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность , где , , - углы треугольника, пропорциональна его площади:
Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: .
Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой , или гиперциклом .
Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью , или орициклом .
Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера ; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В частности, в геометрии Лобачевского число не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.
Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от ; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от , и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.
Заполнение плоскости и пространства правильными политопами
Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками ({3;7})
Плоскость Лобачевского может быть замощена не только правильными треугольниками , квадратами и шестиугольниками , но и любыми другими правильными многоугольниками . При этом в одной вершине паркета должно сходиться не менее 7 треугольников, 5 квадратов, 4 пяти- и шестиугольников и 3 многоугольников с числом сторон более 6. Каждое замощение (в одной вершине сходится M N-угольников) требует строго определённого размера единичного N-угольника, в частности, его площадь должна равняться:
Заполнение пространства Лобачевского правильными додекаэдрами ({5,3,4})
В отличие от обычного пространства, которое можно заполнить правильными многогранниками только одним способом (по 8 кубов в вершине), трёхмерное пространство Лобачевского можно заполнить правильными многогранниками четырьмя способами:
- {3,5,3} (по 12 икосаэдров в вершине)
- {4,3,5} (по 20 кубов в вершине)
- {5,3,4} (по 8 додекаэдров в вершине)
- {3,5,3} (по 20 додекаэдров в вершине)
Кроме этого, существует 11 способов заполнить пространство Лобачевского правильными мозаичными орисферами.
Приложения
- Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов .
- В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций . Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре , который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».
- Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел , в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел ».
- Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности . Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света
- Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности . Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
- При помощи модели Клейна, даётся очень простое и короткое доказательство теоремы о бабочке в евклидовой геометрии.
См. также
Примечания
Труды основоположников
- Н. И. Лобачевский «Геометрические исследования по теории параллельных линий» . - 1941.
- Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М.: Гостехиздат, 1956.
Литература
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, - Наука, Москва, 1990.
- Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия, - УРСС, Москва, 2007.
- Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, - Гостехиздат, Москва, 1956.
- Иовлев Н. Н. «Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского» . - М.-Л.: Гиз., 1930. - С. 67.
- Клейн Ф. «Неевклидова геометрия» . - М.-Л.: ОНТИ, 1936. - С. 356.
- Попов А. Г.
теоремы геометрии Лобачевского
1. Основные понятия геометрии Лобачевского
В евклидовой геометрии согласно пятому постулату на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А"А, проходит только одна прямая В"В, не пересекающая А"А. Прямая В"В называется параллелью к А"А. При этом достаточно потребовать, чтобы таких прямых проходило не более одной, так как существование непересекающей прямой может быть доказано путем последовательного проведения прямых PQA"A и PBPQ. В геометрии Лобачевского аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р проходило более одной прямой, не пересекающей А "А.
Непересекающие прямые заполняют часть пучка с вершиной Р, лежащую внутри пары вертикальных углов TPU и U"PT" , расположенных симметрично относительно перпендикуляра PQ. Прямые, образующие стороны вертикальных углов, отделяют пересекающие прямые от непересекающих и сами являются тоже непересекающими. Эти граничные прямые называются параллелями в точке Р к прямой А"А соответственно в двух ее направлениях: T"Т параллельно А "А в направлении A"A, a UU" параллельно А "А в направлении А А". Остальные непересекающие прямые называются расходящимися прямыми с А "А .
Угол , 0< Р образует с перпендикуляром PQ, QPT= QPU" =, называется углом параллельности отрезка PQ=a и обозначается через . При а=0 угол =/2; при увеличении а угол уменьшается так, что для каждого заданного, 0<а. Эта зависимость называется функцией Лобачевского :
П (a)=2arctg (),
где к -- некоторая константа, определяющая фиксированный по величине отрезок. Она получила название радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии существует бесконечное множество пространств Лобачевского, различающихся величиной к.
Две различные прямые по плоскости образуют пару одного из трех типов.
Пересекающиеся прямые . Расстояние от точек одной прямой до другой прямой неограниченно увеличивается при удалении точки от пересечения прямых. Если прямые не перпендикулярны, то каждая проектируется ортогонально на другую в открытый отрезок конечной величины.
Параллельные прямые . На плоскости через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой в заданном на последней направлении. Параллель в точке Р сохраняет в каждой своей точке свойство быть параллелью той же прямой в том же направлении. Параллелизм обладает взаимностью (если а ||b в определенном направлении, то и b ||а в соответствующем направлении) и транзитивностью (если а ||b и с||b в одном направлении, то а||с в соответствующем направлении). В направлении параллельности параллельные неограниченно сближаются, в противоположном направлении -- неограниченно удаляются (в смысле расстояния от перемещающейся точки одной прямой до другой прямой). Ортогональная проекция одной прямой на другую является открытой полупрямой.
Расходящиеся прямые . Они имеют один общий перпендикуляр, отрезок которого дает минимальное расстояние. По обе стороны от перпендикуляра прямые неограниченно расходятся. Каждая прямая проектируется на другую в открытый отрезок конечной величины.
Трем типам прямых соответствуют на плоскости три типа пучков прямых, каждый из которых покрывает всю плоскость: пучок 1-го рода -- множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пучка); пучок 2-го рода -- множество всех прямых, перпендикулярных к одной прямой (базе пучка); пучок 3-го рода -- множество всех прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении, включающее и эту прямую.
Ортогональные траектории прямых этих пучков образуют аналоги окружности евклидовой плоскости: окружность в собственном смысле; эквидистанта , или линия равных расстояний (если не рассматривать базу), которая вогнута в сторону базы; предельная линия , или орицикл , ее можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Предельные линии конгруэнтны. Они не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности. Две предельные линии, порожденные одним пучком,-- концентричны (высекают на прямых пучка равные отрезки). Отношение длин концентрических дуг, заключенных между двумя прямыми пучка, убывает в сторону параллельности как показательная функция расстояния х между дугами:
s" / s=e .
Каждый из аналогов окружности может скользить по самому себе, что порождает три типа однопараметрических движений плоскости: вращение вокруг собственного центра; вращение вокруг идеального центра (одна траектория -- база, остальные -- эквидистанты); вращение вокруг бесконечно удаленного центра (все траектории -- предельные линии).
Вращение аналогов окружностей вокруг прямой порождающего пучка приводит к аналогам сферы: собственно сфере, поверхности равных расстояний и орисфере , или предельной поверхности .
На сфере геометрия больших окружностей -- обычная сферическая геометрия; на поверхности равных расстояний -- геометрия эквидистант, являющаяся планиметрией Лобачевского, но с большим значением к; на предельной поверхности -- евклидова геометрия предельных линий.
Связь между длинами дуг и хорд предельных линий и евклидовы тригонометрические соотношения на предельной поверхности позволяют вывести тригонометрические соотношения на плоскости, то есть тригонометрические формулы для прямолинейных треугольников.
2. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского
Теорема 1 . Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.
Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 2). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и , дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N . Угол С --прямой. Угол А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А , или, что то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.
Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В , так как ее диаметр является радиусом окружности с . Поэтому точка А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,
А = MAN < MBN.
Отсюда в силу равенства MBN+В = d имеем:
А +В < d; (1)
поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.
Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства (1) применим к любому прямоугольному треугольнику.
Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной из высот на два прямоугольных треугольника. Сумма острых углов этих прямоугольных треугольников равна сумме углов данного косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство (1) , заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.
Теорема 2. Сумма углов четырехугольника меньше 4d.
Для доказательства достаточно разбить четырехугольник диагональю на два треугольника.
Теорема 3. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.
Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается на карте в виде евклидова перпендикуляра р к прямой и в точке М , другая -- в виде евклидовой полуокружности q с центром на и , причем р и q не имеют общих точек (рис. 3). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых на карте всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.
Проведем из М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m . Ясно, что m --гиперболическая прямая, пересекающая и р и q под прямым углом. Следовательно, m изображает на карте искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.
Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме 2.
. Теорема 4. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида).
Справедливость теоремы очевидна из рис. 4, где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ВАС на его сторону АС.
На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС . Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.
Теорема 5. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А"В"С", то эти треугольники равны.
Допустим обратное и отложим соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А"В", АС = А"С". Очевидно, треугольники АВС и А"В"С" равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В , точка C не совпадает с С , так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.
Рассмотрим следующие возможности.
а) Точка В лежит между А и В , точка С -- между А и С (рис. 5); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых). Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВССВ равна 4d , что невозможно в силу теоремы 2.
6) Точка В лежит между А и В , точка С -- между А и С (рис. 6). Обозначим через D точку пересечения отрезков ВС и BC Так как C = C" и C" = С, то C= С, что невозможно, поскольку угол С -- внешний относительно треугольника CCD.
Аналогично трактуются и другие возможные случаи.
Теорема доказана, поскольку сделанное допущение привело к противоречию.
Из теоремы 5 вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного данному треугольнику, но не равного ему.
Мы привыкли думать, что геометрия наблюдаемого мира евклидова, т.е. в нем выполняются законы той геометрии, которая изучается в школе. На самом деле это не совсем так. В этой статье мы рассмотрим проявления в реальности геометрии Лобачевского, которая, на первый взгляд, является сугубо абстрактной.
Геометрия Лобачевского отличается от привычной евклидовой тем, что в ней через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Ее также называют гиперболической геометрией.
1. Евклидова геометрия — через белую точку проходит только одна прямая, которая не пересекает желтую прямую
2. Геометрия Римана — любые две прямые пересекаются (не существует параллельных прямых)
3. Геометрия Лобачевского — существует бесконечно много прямых не пересекающих желтую линию и проходящих через белую точку
Для того, чтобы читатель мог это себе наглядно представить, кратко опишем модель Клейна. В этой модели плоскость Лобачевского реализуется как внутренность круга радиуса один, где точками плоскости являются точки этого круга, а прямыми — хорды. Хорда — прямая, соединяющая две точки окружности. Расстояние между двумя точками определяется достаточно сложно, но оно нам не понадобится. Из рисунка выше становится понятно, что через точку Р проходит бесконечно много прямых, не пересекающих прямую а. В стандартной Евклидовой геометрии, существует лишь одна прямая проходящая через точку Р и не пересекающая прямую а. Эта прямая является параллельной.
Теперь перейдем к главному — практическим применениям геометрии Лобачевского.
Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) состоят из двух частей: орбитальная группировка из 24-29 спутников, равномерно расположенных вокруг Земли, и управленческий сегмент на Земле, обеспечивающий синхронизацию времени на спутниках и использование ими единой системы координат. На спутниках установлены очень точные атомные часы, а в приемниках (GPS-навигаторах) обычные, кварцевые. В приемниках также есть информация о координатах всех спутников в любой момент времени. Спутники с маленькими интервалами передают сигнал, содержащий данные о времени начала передачи. Получив сигнал от не менее четырех спутников, приемник может скорректировать свои часы и вычислить расстояния до этих спутников по формуле ((время отправки сигнала спутником) — (время приема сигнала от спутника)) х (скорость света) = (расстояние до спутника). Вычисленные расстояния также корректируются по встроенным в приемник формулам. Далее, приемник находит координаты точки пересечения сфер с центрами в спутниках и радиусами, равными вычисленным расстояниям до них. Очевидно, это будут координаты приемника.
Читателю наверняка известно, что, благодаря эффекту в Специальной теории относительности, из-за большой скорости спутника время на орбите идет отлично от времени на Земле. Но еще есть подобный эффект в Общей теории относительности, связанный как раз с неевклидовой геометрией пространства-времени. Опять же не будем вдаваться в математические подробности поскольку они довольно таки абстрактные. Но, если перестать учитывать эти эффекты, то уже за сутки работы в показаниях навигационной системы накопится ошибка порядка 10 км.
Формулы геометрии Лобачевского также используются в физике высоких энергий, а именно, в расчетах ускорителей заряженных частиц. Гиперболические пространства (т.е. пространства, в которых действуют законы гиперболической геометрии) встречаются и в самой природе. Приведем побольше примеров:
Геометрия Лобачевского проглядывается в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растении, в архитектуре, у некоторых цветков и так далее. Кстати, если вы помните в прошлом выпуске мы рассказывали о шестиугольниках в природе, так вот, в гиперболической природе альтернативой являются семиугольники, которые также широко распространены.
